层次分析法（AHP）机理方法¶

一、AHP 的核心数学机制（简要）¶

1. 判断矩阵 A：
   满足 $a_{ij} = 1/a_{ji}$，且 $a_{ii}=1$
2. 权重向量 w：
   常用方法：
   • 最大特征值法（Eigenvalue Method）
   • 几何平均法（Geometric Mean）
3. 一致性检验：

$$ CI=\frac{\lambda_{\max}-n}{n-1},\quad CR=\frac{CI}{RI} $$ 若 $CR<0.1$，一致性可接受。

二、方法一：基于最大特征值的标准 AHP（最经典）¶

✅ 函数实现¶

In [ ]:

import numpy as np

def ahp_eigen(matrix):
    """
    使用最大特征值法计算权重
    """
    matrix = np.array(matrix, dtype=float)
    n = matrix.shape[0]

    # 特征值分解
    eigvals, eigvecs = np.linalg.eig(matrix)
    max_index = np.argmax(eigvals.real)
    w = eigvecs[:, max_index].real
    w = w / w.sum()

    # 最大特征值
    lambda_max = eigvals[max_index].real

    return w, lambda_max

import numpy as np def ahp_eigen(matrix): """ 使用最大特征值法计算权重 """ matrix = np.array(matrix, dtype=float) n = matrix.shape[0] # 特征值分解 eigvals, eigvecs = np.linalg.eig(matrix) max_index = np.argmax(eigvals.real) w = eigvecs[:, max_index].real w = w / w.sum() # 最大特征值 lambda_max = eigvals[max_index].real return w, lambda_max

✅ 一致性检验函数¶

In [ ]:

def consistency_check(matrix, lambda_max):
    n = len(matrix)
    RI_dict = {
        1: 0, 2: 0, 3: 0.58, 4: 0.90,
        5: 1.12, 6: 1.24, 7: 1.32,
        8: 1.41, 9: 1.45
    }
    CI = (lambda_max - n) / (n - 1)
    CR = CI / RI_dict[n]
    return CI, CR

def consistency_check(matrix, lambda_max): n = len(matrix) RI_dict = { 1: 0, 2: 0, 3: 0.58, 4: 0.90, 5: 1.12, 6: 1.24, 7: 1.32, 8: 1.41, 9: 1.45 } CI = (lambda_max - n) / (n - 1) CR = CI / RI_dict[n] return CI, CR

✅ 内部机制说明¶

• np.linalg.eig 求解主特征向量 → 归一化后即为权重
• 数学依据：Perron–Frobenius 定理
• 适用于理论严谨、学术研究场景

三、方法二：几何平均法（计算快、稳定）¶

✅ 函数实现¶

def ahp_geometric_mean(matrix):
    """
    几何平均法计算权重
    """
    matrix = np.array(matrix, dtype=float)
    n = matrix.shape[0]

    # 每一行几何平均
    geo_mean = np.exp(np.mean(np.log(matrix), axis=1))
    weights = geo_mean / geo_mean.sum()

    return weights

✅ 内部机制说明¶

• 对判断矩阵按行取几何平均： $$ w_i = \frac{\left(\prod_j a_{ij}\right)^{1/n}}{\sum_k \left(\prod_j a_{kj}\right)^{1/n}} $$
• 优点：
  • 无需特征值计算
  • 数值稳定性好
• 缺点：
  • 理论上不如特征值法严谨

✅ 工程推荐

四、方法三：列和归一化法（简化版）¶

✅ 函数实现¶

def ahp_column_norm(matrix):
    """
    列归一化 + 行平均
    """
    matrix = np.array(matrix, dtype=float)
    col_sum = matrix.sum(axis=0)
    norm_matrix = matrix / col_sum
    weights = norm_matrix.mean(axis=1)

    return weights

✅ 内部机制说明¶

• 将判断矩阵按列归一化
• 再对每一行求平均
• 本质是 特征向量法的近似
• 适合教学或快速原型

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五、方法四：面向对象封装（工程级写法）¶

✅ AHP 类¶

class AHP:
    def __init__(self, matrix):
        self.A = np.array(matrix, dtype=float)
        self.n = self.A.shape[0]

    def weights(self, method="eigen"):
        if method == "eigen":
            return self._eigen()
        elif method == "geo":
            return self._geometric()
        else:
            raise ValueError("Unknown method")

    def _eigen(self):
        eigvals, eigvecs = np.linalg.eig(self.A)
        idx = np.argmax(eigvals.real)
        w = eigvecs[:, idx].real
        return w / w.sum()

    def _geometric(self):
        gm = np.exp(np.mean(np.log(self.A), axis=1))
        return gm / gm.sum()

    def check_consistency(self):
        w = self._eigen()
        Aw = self.A @ w
        lambda_max = np.mean(Aw / w)
        CI = (lambda_max - self.n) / (self.n - 1)
        RI = [0, 0, 0.58, 0.90, 1.12, 1.24, 1.32, 1.41, 1.45][self.n - 1]
        return CI, CI / RI

✅ 使用示例¶

matrix = [
    [1, 3, 5],
    [1/3, 1, 2],
    [1/5, 1/2, 1]
]

ahp = AHP(matrix)
w = ahp.weights(method="geo")
CI, CR = ahp.check_consistency()

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六、四种方法对比总结¶

方法	精度	速度	适用场景
特征值法	⭐⭐⭐⭐	⭐⭐	学术、严格建模
几何平均	⭐⭐⭐⭐	⭐⭐⭐⭐	工程实践（推荐）
列和归一化	⭐⭐⭐	⭐⭐⭐⭐	教学、快速验证
OOP 封装	⭐⭐⭐⭐	⭐⭐⭐	大型项目

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In [ ]: